泛函分析

　　泛函分析是现代数学的核心分支之一，融合分析、代数、拓扑等多领域思想，构建处理无穷维空间及其上算子的理论框架，不仅是数学专业本科生通往更高层次数学研究的关键桥梁，也广泛应用于微分方程、概率论、控制论、信号处理、量子力学等领域。本教材由辽宁师范大学数学学院编写，遵循“循序渐进、由浅入深”原则，以“夯实基础、强化应用、引导拓展”为核心目标。全书共七章：度量空间、赋范线性空间、内积空间、线性算子与线性泛函、对偶空间与共轭算子、谱理论初步、应用与拓展，各章既相互独立又紧密关联，形成完整的知识体系。每章配备适量例题与习题，兼顾基础与拓展。本科生可重点掌握前六章核心内容，研究生可深入学习第七章应用拓展及前沿知识。语言严谨、简洁、通俗易懂，注重引导读者理解抽象概念的本质，培养抽象思维能力与数学建模能力。

　　第1章　度量空间／1
1.1　基本概念与例子／1
1.2　可分性／16
1.3　完备性／20
1.4　列紧性／30
1.5　度量线性空间／38
第2章　赋范线性空间／53
2.1　赋范线性空间与Banach空间／53
2.2　有穷维赋范线性空间／61
第3章　内积空间／74
3.1　内积空间与Hilbert空间／75
3.2　正规正交基／88
第4章　线性算子与线性泛函／107
4.1　基本概念与性质／107
4.2　Riesz表示定理／116
4.3　Hahn-Banach延拓定理／122
4.4　Baire纲推理／127
4.5　一致有界原理／131
4.6　开映射定理与Banach逆算子定理／134
4.7　闭图像定理／136
第5章　对偶空间与共轭算子／147
5.1　对偶空间与自反空间／147
5.2　Banach共轭算子／159
5.3　Hilbert共轭算子／165
第6章　谱理论初步／180
6.1　有界线性算子的谱／180
6.2　紧算子／186
6.3　紧算子的谱／194
第7章　应用与拓展／205
7.1　公理化／205
7.2　压缩映射原理／210
7.3　Fréchet可微／216
7.4　双线性泛函／221
7.5　最佳逼近问题／226
7.6　弱收敛与弱∗收敛／230
7.7　不变子空间问题／238
参考文献／249